Question

【題目】某分公司經銷某種品牌產品，每件產品的成本為30元，并且每件產品須向總公司繳納a元(a為常數，2≤a≤5)的管理費，根據多年的統計經驗，預計當每件產品的售價為x元時，產品一年的銷售量為 (e為自然對數的底數)萬件，已知每件產品的售價為40元時，該產品一年的銷售量為500萬件．經物價部門核定每件產品的售價x最低不低于35元，最高不超過41元．
（1）求分公司經營該產品一年的利潤L(x)萬元與每件產品的售價x元的函數關系式；
（2）當每件產品的售價為多少元時，該產品一年的利潤L(x)最大，并求出L(x)的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，該產品一年的銷售量為y＝ .
將x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.
故該產品一年的銷售量y(萬件)關于x(元)的函數關系式為y＝500e40－x.
所以L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．
（2）解：由(1)得，L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．
①當2≤a≤4時，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，
當且僅當a＝4，x＝35時取等號．
所以L(x)在[35，41]上單調遞減．
因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.
②當4<a≤5時，L′(x)>035≤x<31＋a，
L′(x)<031＋a<x≤41.
所以L(x)在[35，31＋a)上單調遞增，在[31＋a，41]上單調遞減．
因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.
綜上所述當2≤a≤4時，每件產品的售價為35元，該產品一年的利潤L(x)最大，最大為500(5－a)e5萬元；
當4<a≤5時，每件產品的售價為(31＋a)元時，該產品一年的利潤L(x)最大，最大為500e9－a萬元．
【解析】（1）由每件產品的售價為40元時，該產品一年的銷售量為500萬件，代入可得k值，進而根據利潤=單件利潤×銷售量得到該產品一年的利潤L（x）萬元與每件產品的售價x元的函數關系式；
（2）由（1）中所得函數的解析式，求導后分析函數的單調性，進而分析出該產品一年的利潤L（x）的最大值．