Question

【題目】已知，是離心率為的橢圓 兩焦點，若存在直線，使得，關于的對稱點的連線恰好是圓 的一條直徑.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的上頂點作斜率為，的兩條直線，，兩直線分別與橢圓交于，兩點，當時，直線是否過定點？若是求出該定點，若不是請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；(2)定點

【解析】

（1）由對稱可知，橢圓焦距等于圓的直徑，從而得到，再由離心率，求出，得出橢圓方程；（2）設直線，聯立橢圓得到韋達定理，再由列出關系式，代入韋達定理，可解出，從而得到直線所過定點.

（1）將圓的方程配方得

所以其圓心為半徑為1.

由題意知，橢圓焦距為等于圓直徑，所以

又，所以，

橢圓的方程為；

（2）因為，所以直線斜率存在，

設直線,，

消理得

，（*）

又理得

即

所以

（*）代入得

整理的得,

所以直線定點