Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．
（1）設bn=an+1﹣2an ， 證明數列{bn}是等比數列（要指出首項、公比）；
（2）若cn=nbn ， 求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵Sn+1=4an+2，∴當n≥2時，Sn=4an﹣1+2，

兩式相減得：an+1=4an﹣4an﹣1，

∴ ，

∵當n=1時，S2=4a1+2，a1=1，∴a2=5，從而b1=3，

∴數列{bn}是以b1=3為首項，2為公比的等比數列；

（2）解：由（1）知 ，從而 ，

∴Tn=c1+c2+c3+…+cn﹣1+cn=3×20+6×21+9×22+…+3（n﹣1）×2n﹣2+3n×2n﹣1，

2Tn=3×21+6×22+9×23+…+3（n﹣1）×2n﹣1+3n×2n，

兩式相減得： = ，

∴ ．

【解析】（1）由已知數列遞推式可得當n≥2時，Sn=4an﹣1+2，與原遞推式聯立可得an+1=4an﹣4an﹣1 ， 然后利用定義證明數列{bn}是等比數列；（2）由數列{bn}的通項公式求出數列{cn}的通項公式，再由錯位相減法求數列{cn}的前n項和Tn ．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．