Question

【題目】已知函數(shù).

當(dāng)時(shí)

①求證：在區(qū)間上單調(diào)遞減；

②求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

對(duì)于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】①證明見(jiàn)解析；②；.

【解析】

①先求導(dǎo)得，令，有，當(dāng)時(shí)，，所以所以，進(jìn)而證出在區(qū)間上單調(diào)遞減；②由①知：函數(shù)在單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，進(jìn)而得出結(jié)果；

先整理不等式得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒非負(fù)，分離變量得最小值，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，得最值，得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：①當(dāng)時(shí)，，

，

令，有，

當(dāng)時(shí)，，所以所以

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

②由①知：函數(shù)在單調(diào)遞減.

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

，

故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.

由，有，

故可化為，

整理為：，

即函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，

，

，

故當(dāng)時(shí)，，

即，

①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，整理為：，

令，有，

當(dāng)，，，有，

當(dāng)時(shí)，由，有，可得，

由上知時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

故，故有：，可得.