Question

【題目】在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線l的參數方程為 ，（t為參數），曲線C1的方程為ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定點A（6，0），點P是曲線C1上的動點，Q為AP的中點．
（1）求點Q的軌跡C2的直角坐標方程；
（2）直線l與直線C2交于M，N兩點，若|MN|≥2 ，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，

曲線C1的極坐標方程ρ（ρ﹣4sinθ）=12，

可得曲線C1的直角坐標方程為：x2+y2﹣4y=12，

設點P（x′，y′），Q（x，y），

根據中點坐標公式，得 ，代入x2+y2﹣4y=12，

得點Q的軌跡C2的直角坐標方程為：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4

（2）解：直線l的普通方程為：y=ax，

設圓心到直線的距離為d，

由弦長公式可得，|MN|=2 ≥2 ，

可得圓心（3，1）到直線的距離為d= ≤ ，

即為4a2﹣3a≤0，

解得實數a的取值范圍為：[0， ]

【解析】（1）首先，將曲線C1化為直角坐標方程，然后，根據中點坐標公式，建立關系，從而確定點Q的軌跡C2的直角坐標方程；（2）首先，將直線方程化為普通方程，然后，運用點到直線的距離公式和弦長公式，解不等式即可得到取值范圍．