Question

【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓O上運動，若△PAB面積的最大值為，橢圓O的離心率為．

(1)求橢圓O的標準方程；

(2)過B點作圓E：的兩條切線，分別與橢圓O交于兩點C，D(異于點B)，當r變化時，直線CD是否恒過某定點?若是，求出該定點坐標，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線恒過定點.

【解析】

（1）根據已知條件列方程組，解方程組可得.

（2）設過B的切線方程，由d=r，利用韋達定理得兩切線PC、PD的斜率、關系，把直線、代入橢圓方程求出C、D點坐標，利用兩點式建立CD方程，化簡方程可得.

（1）由題可知當點在橢圓的上頂點時，最大，此時，

所以，

所以橢圓的標準方程為：.

（2）設過點與圓相切的直線方程為：，即：，

因為直線與圓：相切，所以，

即得.

設兩切線的斜率分別為，則，

設，，

由，

∴，即，∴；

同理：，；

∴，

所以直線的方程為：.

整理得：，

所以直線恒過定點.