Question

【題目】已知函數 ，其中a，b，c∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a=0，且當x≥0時，f（x）≥1總成立，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）若a＞0，b=0，若f（x）存在兩個極值點x1 ， x2 ， 求證；f（x1）+f（x2）＜e．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，
f'（x）＞0x＞1或x＜0，f'（x）＜00＜x＜1，
∴f（x）增區間為（﹣∞，0），（1，+∞），減區間為（0，1）．
（Ⅱ） 在[0，+∞）恒成立b≥0
當b≥0時，f（x）≥1ex﹣bx﹣1≥0．設g（x）=ex﹣bx﹣1，g'（x）=ex﹣b
①當0≤b≤1時，g'（x）≥0g（x）在[0，+∞）單調遞增，g（x）≥g（0）=0成立
②當b＞1時，g'（x）=0x=lnb，當x∈（0，lnb）時，
g'（x）＜0g（x）在（0，lnb）單調遞減，g（x）＜g（0）=0，不成立
綜上，0≤b≤1
（Ⅲ）
有條件知x1 ， x2為ax2﹣2ax+1=0兩根， ，
且 ，
由 成立，
作差得： ，
得 ∴f（x1）+f（x2）＜e….12
或由x1+x2=2， ，（可不妨設0＜x1＜1）
設 （0＜x＜1），
在（0，1）單調遞增，
h（x）＜h（1）=e，
∴f（x1）+f（x2）＜e成立．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）問題轉化為bx+1≥0在[0，+∞）恒成立，通過討論b的范圍集合函數的單調性從而求出b的范圍即可；（Ⅲ）求出函數的導數，構造新的函數，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．