Question

【題目】已知函數f（x）=4lnx﹣x+ ， g（x）=2x2﹣bx+20，若對于任意x1∈（0，2），都存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，則實數b的取值范圍是

Answer 1

【答案】[13，+∞）
【解析】∵函數f（x）=4lnx﹣x+ ， （x＞0）
∴f′（x）=﹣1﹣=﹣ ，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）為增函數；
若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）為減函數；
f（x）在x∈（0，2）上有極值，
f（x）在x=1處取極小值也是最小值f（x）min=f（1）=﹣1+3=2；
∵g（x）=2x2﹣bx+20=2（x﹣）2+4﹣ ， 對稱軸x= ， x∈[1，2]，
當＜1時，g（x）在x=1處取最小值g（x）min=g（1）=2﹣b+20=22﹣b；
當1＜＜2時，g（x）在x=處取最小值g（x）min=g（b）=4﹣；
當＞2時，g（x）在[1，2]上是減函數，g（x）min=g（2）=8﹣2b+20=28﹣2b；
∵對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，
當＜1時，2≥22﹣b，解得b≥20，故b無解；
當＞2時，2≥28﹣2b，解得b≥13，
綜上：b≥13，
所以答案是：[13，+∞）．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．