Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．

（1）證明PA∥平面EDB；
（2）證明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：證明：連結AC，AC交BD于O，連結EO

∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點

在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO

而EO平面EDB且PA平面EDB，

所以，PA∥平面EDB

方法二：證明：連結AC，AC交BD于G，連結EG

依題意得

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點G的坐標為 且

∴ ，這表明PA∥EG

而EG平面EDB且PA平面EDB，∴PA∥平面EDB

（2）解：方法一：證明：

∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，

∴DE⊥PC ①

同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC

而DE平面PDC，∴BC⊥DE ②

由①和②推得DE⊥平面PBC

而PB平面PBC，∴DE⊥PB

又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD

方法二：證明；依題意得B（a，a，0），

又 ，故

∴PB⊥DE

由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD

（3）解：方法一：解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角

由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB

設正方形ABCD的邊長為a，則 ，

在Rt△PDB中，

在Rt△EFD中， ，∴

所以，二面角C﹣PB﹣D的大小為

方法二：解：設點F的坐標為（x0，y0，z0）， ，則（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）

從而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a

所以

由條件EF⊥PB知， ，即 ，解得

∴點F的坐標為 ，且 ，

∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角

∵ ，且 ， ，

∴

∴

所以，二面角C﹣PB﹣D的大小為 ．

【解析】方法一：（1）連結AC，AC交BD于O，連結EO，利用三角形中位線的性質，可得PA∥EO，利用線面平行的判定可得結論；（2）證明DE⊥PC，BC⊥平面PDC，DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，利用線面垂直的判定定理，可得PB⊥平面EFD；（3）確定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用正弦函數即可求解；方法二：建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設DC=a（1）連結AC，AC交BD于G，連結EG，證明 ，這表明PA∥EG，可得結論；（2）利用向量的數量積公式，證明PB⊥DE，再利用線面垂直的判定定理，可得結論；（3）確定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用向量的夾角公式，即可解決．