Question

【題目】已知函數 ，a為正常數．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a= ，求函數f（x）的單調增區間；
（2）在（1）中當a=0時，函數y=f（x）的圖象上任意不同的兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），線段AB的中點為C（x0 ， y0），記直線AB的斜率為k，試證明：k＞f'（x0）．
（3）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意的x1 ， x2∈（0，2]，x1≠x2 ， 都有 ，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：

∵a= ，令f'（x）＞0得x＞2或

∴函數f（x）的單調增區間為

（2）解：證明：當a=0時f（x）=lnx

∴

∴

又

不妨設x2＞x1，要比較k與f'（x0）的大小，

即比較 與 的大小，

又∵x2＞x1，

∴即比較 與 的大小．

令 ，

則

∴h（x）在[1，+∞）上是增函數．

又 ，

∴ ，

∴ ，

即k＞f'（x0）；

（3）解：∵ ，

∴

由題意得F（x）=g（x）+x在區間（0，2]上是減函數．

1°當 ，

∴

由 在x∈[1，2]恒成立．

設m（x）= ，x∈[1，2]，則

∴m（x）在[1，2]上為增函數，

∴

2°當 ，

∴

由 在x∈（0，1）恒成立

設t（x）= ，x∈（0，1）為增函數

∴a≥t（1）=0

綜上：a的取值范圍為

【解析】（1）由題意先把f（x）的解析式具體，然后求其導函數，令導函數大于0，解出的即為函數的增區間；（2）對于當a=0時，先把f（x）=lnx具體出來，然后求導函數，得到f′（x0），在利用斜率公式求出過這兩點的斜率公式，利用構造函數并利用構造函數的單調性比較大小；（3）因為g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意的x1 ， x2∈（0，2]，x1≠x2 ， 都有 ，先寫出g（x）的解析式，利用該函數的單調性把問題轉化為恒成立問題進行求解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的單調性的相關知識，掌握注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種，以及對函數單調性的性質的理解，了解函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．