Question

【題目】在等腰中， ，腰長為， 、分別是邊、的中點，將沿翻折，得到四棱錐，且為棱中點， ．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求二面角的余弦值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）

【解析】試題分析：（I）取中點，連結、，因為在等腰中，得到，

根據圖象的翻折得到，進而證得平面，再根據是平行四邊形，得，即可證明平面；（II）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為，和平面B的一個方向法向量，根據法向量所成的角，即可得到結論.

試題解析：（Ⅰ）證明：取中點，連結、，

因為在等腰中， ， ， 、分別是邊、的中點，

所以，

又因為翻折后，所以翻折后，且

為等腰直角三角形，所以，

因為翻折后， ，且， 平面，因為，

平面， ，又， 平面，

又， ，且， 是平行四邊形， ，

平面； …（3分）

（Ⅱ）以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系．

則， ， ， ， ，

設，則，

設平面的法向量為，則由，且，得，

取，則，

要使平面，則須，

所以，即線段上存在一點，使得平面，

…（9分）

設平面BAE的法向量為，則由，且，得，取，則， ，

因為二面角為銳二面角，所以其余弦值為，

即線段上存在一點（點是線段上的靠近點的一個三等分點），

使得平面，此時二面角的余弦值為…（12分）