Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓： 的離心率，左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有，若存在，求出點(diǎn)的

坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由；

（3）若過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率和左頂點(diǎn)，求出， ，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立，得， ，由此利用韋達(dá)定理、直線垂直，結(jié)合題意能求出結(jié)果；（3）由,可設(shè)的方程為，與橢圓聯(lián)立方程得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，結(jié)合基本不等式即可求出最小值.

試題解析：（1）∵左頂點(diǎn)為

∴

又∵

∴

又∵

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）直線的方程為，由消元得

化簡(jiǎn)得， ，則

當(dāng)時(shí)， ，

∴

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.

直線的方程為，令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，假設(shè)存在定點(diǎn)使得,則，即恒成立，

∴恒成立

∴即

∴定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）∵

∴的方程可設(shè)為，由得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

由，得 ，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，

∴當(dāng)時(shí)， 的最小值為．