Question

【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且Sn=n（n+1）（n∈N*）
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：an= + + +…+ ，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（3）令cn= （n∈N*），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），

∴n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣n（n﹣1）=2n．

n=1時(shí)，a1=S1=2，對(duì)于上式也成立．

∴an=2n．

（2）解：數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：an= + + +…+ ，∴n≥2時(shí)，an﹣an﹣1= =2．

∴bn=2（3n+1）．

n=1時(shí)， =a1=2，可得b1=8，對(duì)于上式也成立．

∴bn=2（3n+1）．

（3）解：cn= = =n3n+n，

令數(shù)列{n3n}的前n項(xiàng)和為An，則An=3+2×32+3×33+…+n3n，

∴3An=32+2×33+…+（n﹣1）3n+n3n+1，

∴﹣2An=3+32+…+3n﹣n3n+1= ﹣n3n+1，

可得An= ．

∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn= + ．

【解析】（1）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1．n=1時(shí)，a1=S1=2，即可得出．（2）數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：an= + + +…+ ，可得n≥2時(shí)，an﹣an﹣1= =2．n=1時(shí)， =a1=2，可得b1．（3）cn= = =n3n+n，令數(shù)列{n3n}的前n項(xiàng)和為An，利用錯(cuò)位相減法即可得出An．進(jìn)而得出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．