Question

【題目】已知函數， ．

（Ⅰ）當時，求證：過點有三條直線與曲線相切；

（Ⅱ）當時， ，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】試題分析：

(1)首先對函數求導，寫出切線方程，討論方程根的分布可得過點有三條直線與曲線相切；

(2)利用題意構造函數，由新函數的性質可得實數的取值范圍是.

試題解析：解法一：（Ⅰ）當時， ，

設直線與曲線相切，其切點為，

則曲線在點處的切線方程為： ，

因為切線過點，所以，

即 ，

∵，∴，

設，

∵， ， ，

∴在三個區間上至少各有一個根

又因為一元三次方程至多有三個根，所以方程恰有三個根，

故過點有三條直線與曲線相切．

（Ⅱ）∵當時， ，即當時，

∴當時， ，

設，則，

設，則．

（1）當時，∵，∴，從而（當且僅當時，等號成立）

∴在上單調遞增，

又∵，∴當時， ，從而當時， ，

∴在上單調遞減，又∵，

從而當時， ，即

于是當時， ．

（2）當時，令，得，∴，

故當時， ，

∴在上單調遞減，

又∵，∴當時， ，

從而當時， ，

∴在上單調遞增，又∵，

從而當時， ，即

于是當時， ，

綜合得的取值范圍為．

解法二：（Ⅰ）當時， ，

，

設直線與曲線相切，其切點為，

則曲線在點處的切線方程為，

因為切線過點，所以，

即 ，

∵，∴

設，則，令得

當變化時， ， 變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴恰有三個根，

故過點有三條直線與曲線相切．

（Ⅱ）同解法一．