Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，已知橢圓 的離心率為 ，C為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)．

（1）若點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，求a，b的值；
（2）設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，B為橢圓上一點(diǎn)，且 ，求直線AB的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因?yàn)闄E圓的離心率為 ，

所以 ，即 ．①

又因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓上，

所以 ． ②

由①②解得 ．

因?yàn)? ，所以 ．

（2）

法一：由①知， ，所以橢圓方程為 ，即 ．

設(shè)直線OC的方程為 ， ， ．

由 得 ，

所以 ．因?yàn)? ，所以 ．

因?yàn)? ，所以 ．可設(shè)直線 的方程為 ．

由 得 ，

所以 或 ，得 ．

因?yàn)? ，所以 ，于是 ，

即 ，所以 ．

所以直線AB的斜率為 ．

法二：由（1）可知，橢圓方程為 ，則 ．

設(shè) ， ．

由 ，得 ，

所以 ， ．

因?yàn)辄c(diǎn)B，點(diǎn)C都在橢圓 上，

所以

解得 ， ，

所以直線AB的斜率 ．

【解析】（1）將點(diǎn)代入橢圓，結(jié)合a,b,c的關(guān)系即可求出a,b。（2）設(shè)出B，C點(diǎn)，由 向量關(guān)系得到點(diǎn)B、C間坐標(biāo)關(guān)系，再將點(diǎn)B或C代入橢圓解出B或C點(diǎn)，即可求出斜率。