Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=1，an+1=1﹣ ，其中n∈N* ．
（Ⅰ）設bn= ，求證：數列{bn}是等差數列，并求出{an}的通項公式an；
（Ⅱ）設Cn= ，數列{CnCn+2}的前n項和為Tn ， 是否存在正整數m，使得Tn＜ 對于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵bn+1﹣bn= =
= =2，
∴數列{bn}是公差為2的等差數列，
又 =2，∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．
∴2n= ，解得 ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 ，
∴cncn+2= = ，
∴數列{CnCn+2}的前n項和為Tn=
=2 ＜3．
要使得Tn＜ 對于n∈N*恒成立，只要 ，即 ，
解得m≥3或m≤﹣4，
而m＞0，故最小值為3
【解析】（Ⅰ）利用遞推公式即可得出bn+1﹣bn為一個常數，從而證明數列{bn}是等差數列，再利用等差數列的通項公式即可得到bn ， 進而得到an；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，利用“裂項求和”即可得到Tn ， 要使得Tn＜ 對于n∈N*恒成立，只要 ，即 ，解出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的通項公式的相關知識，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．