Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，右焦點為，設M，N是橢圓C上位于x軸上方的兩動點，且直線與直線平行，與交于點D．

（Ⅰ）求和的坐標；

（Ⅱ）求的最小值；

（Ⅲ）求證：是定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析．

【解析】

（Ⅰ）由橢圓方程得后可得，即得焦點坐標；

（Ⅱ）設直線與橢圓的另一焦點是，由橢圓的對稱性得，設，設直線方程是，與橢圓方程聯立消元后應用韋達定理可得，用弦長公式求得，計算并代入得關于的函數，可得最小值．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，再由，由平行線性質求得和，相加即證．

（Ⅰ）由題意，，所以，焦點為，；

（Ⅱ）設直線與橢圓的另一焦點是，因為，所以由橢圓的對稱性得，

設，設直線方程是，

由得，，，

，

所以當時，取得最小值為．

（Ⅲ）因為，且在橢圓上，

所以

同理，

所以，

由（Ⅱ），

，

所以為定值．