Question

【題目】三棱柱中，為的中點，點在側棱上，平面

(1) 證明：是的中點；

(2) 設,四邊形為邊長為4正方形，四邊形為矩形，且異面直線與所成的角為，求該三棱柱的體積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)32.

【解析】

（1）利用棱柱的性質以及相似三角形判斷定理，證得，從而得到；連接分別交于，連，利用線面平行性質定理證得，從而得到；再證得，從而得到，結論得證.

（2）取的中點，連接，則或其補角為異面直線與所成的角，結合題目條件，設，分別求出，再利用余弦定理，即可建立方程求出，從而求出三棱柱的體積.

(1)證明：連接分別交于，連，

∵平面，平面，平面平面=，∴,

又∵在三棱柱側面中，為的中點，

由可得，，所以，

故，，∴，

在平面中同理可證得，

故有是的中點.

(2)取的中點，連接，可知，

故或其補角為異面直線與所成的角，

設，則在中，可求，

則余弦定理可求：，解得：，

故.