Question

如果有窮數列a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*），滿足條件：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1（i=1，2，…，n），我們稱其為“對稱數列”．例如：數列1，2，3，4，3，2，1就是“對稱數列”．已知數列b_n是項數為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，則數列b_n的前2008項和S₂₀₀₈可以是：①2²⁰⁰⁸-1；②2（2²⁰⁰⁸-1）；③3•2^m-1-2^2m-2009-1；④2^m+1-2^2m-2008-1．
其中命題正確的個數為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由題意由于新定義了對稱數列，且已知數列b_n是項數為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，故數列b_n的前2008項利用等比數列的前n項和定義直接可求①②的正確與否；對于③④，先從等比數列的求和公式求出任意2m項的和在利用減法的到需要的前2008項的和，即可判斷．

解答：解：因為數列b_n是項數為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，
故數列b_n的前2008項可以是：①1，2，2²，2³…，2¹⁰⁰³，2¹⁰⁰³，…，2²，1．
所以前2008項和S₂₀₀₈=2×

1×(1-21004)

1-2

=2（2¹⁰⁰⁴-1），所以①②錯；
對于 ③1，2，2²…2^m-1，2^m-1，2^m-2，…，2，1，
1，2，…2^m-2，2^m-1，2^m-1，2^m-2，…，2，1…m=2n．m=8，利用等比數列的求和公式可以得：s₂₀₀₈=3•2^m-1-2^2m-2009-1，所以③正確；
對于④1，2，2²，…2^m-2，2^m-1，2^m-2，…，2，1，1，2，…2^m-2，2^m-1，2^m-2，…，2，1…m-1=2n+1，利用等比數列的求和公式可得：
S₂₀₀₈=2^m+1-2^2m-2008-1，故④正確．
故選：B

點評：此題考查了學生對于新題意，新定義的理解，還考查了等比數列的求和公式及學生的計算能力．