Question

如果有窮數列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m為正整數）滿足a₁=a_m，a₂=a_m-1，…，a_m=a₁．即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我們稱其為“對稱數列“例如，數列1，2，5，2，1與數列8，4，2，2，4，8都是“對稱數列”．設{b_n}是項數為2m（m＞1，m∈N*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，2³，…，2^m-1依次為該數列中連續的前m項，則數列{b_n}的前2010項和S₂₀₁₀可以是
（1）2²⁰¹⁰-1     （2）2¹⁰⁰⁶-2       （3）2^m+1-2^2m-2010-1
其中正確命題的個數為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：由題意由于新定義了對稱數列，且已知數列bn是項數為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，故數列b_n的前2010項利用等比數列的前n項和定義直接可求（1）（2）的正確與否；對于（3），先從等比數列的求和公式求出任意2m項的和在利用減法的到需要的前201008項的和，即可判斷．

解答：解：因為數列bn是項數為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，故數列b_n的前2010項可以是：①1，2，2²，2³…，2¹⁰⁰⁵，2¹⁰⁰⁵，…，2²，1．
所以前2010項和S₂₀₁₀=2×

1×(1-21005)

1-2

=2（2¹⁰⁰⁵-1），所以（1）錯（2）對；
對于 （3）1，2，2²，…2^m-2，2^m-1，2 ^m-2，…，2，1，1，2，…2^m-2，2^m-1，2 ^m-2，…，2，1…m-1=2n+1，利用等比數列的求和公式可得：S₂₀₁₀=2^m+1-2^2m-2010-1，故（3）正確．
故為C

點評：本題以新定義對稱數列為切入點，運用的知識都是數列的基本知識：等差數列的通項及求和公式，等比數列的通項及求和公式，還體現了分類討論在解題中的應用．