Question

如果有窮數列a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*）滿足條件：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1，（i=1，2，…，n）我們稱其為“對稱數列”．例如：數列1，2，3，3，2，1 和數列1，2，3，4，3，2，1都為“對稱數列”．已知數列{b_n}是項數不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中連續的前m項，則數列{b_n}的前2009項和S₂₀₀₉所有可能為：①2²⁰⁰⁹-1  ②2（2²⁰⁰⁹-1）③3•2^m-1-2^2m-2010-1  ④2^m+1-2^2m-2009-1；其中正確的有（　　）個．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由題意由于新定義了對稱數列，且已知數列bn是項數為不超過2m（m＞1，m∈N*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，故數列bn的前2009項利用等比數列的前n項和定義直接可求①②的正確與否；對于③④，先從等比數列的求和公式求出任意2m項的和，再利用減法得到需要的前2009項的和，即可判斷．

解答：解：因為數列b_n是項數為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，
所以分數列的項數是偶數和奇數討論．
若數列含偶數項，則數列可設為1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
當m-1≥2008時，S₂₀₀₉=

1×(1-22009)

1-2

=2²⁰⁰⁹-1，所以①正確；
當1004≤m-1＜2008時，S₂₀₀₉=2

1×(1-2m)

1-2

-

1×(1-22m-2009)

1-2

=2^m+1-2^2m-2009-1，所以④正確；
若數列含奇數項，則數列可設為可設為1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
當m-1≥2008時，S₂₀₀₉=2²⁰⁰⁹-1；
當1004≤m-1＜2008時，所以S₂₀₀₉=2

1×(1-2m-1)

1-2

+2^m-1-

1×(1-22m-1-2009)

1-2

=3•2^m-1-2^2m-2010-1，所以③正確．
故選C

點評：本題以新定義對稱數列為切入點，運用的知識都是數列的基本知識：等差數列的通項及求和公式，等比數列的通項及求和公式，還體現了分類討論在解題中的應用．