Question

如果有窮數列a1，a2，…，an(n∈N*)滿足條件：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1，（i=1，2，…，n）我們稱其為“對稱數列”．例如：數列1，2，3，3，2，1 和數列1，2，3，4，3，2，1都為“對稱數列”．已知數列{b_n}是項數不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中連續的前m項，則數列{b_n}的前2009項和S₂₀₀₉所有可能的取值的序號為（　�。�
①2²⁰⁰⁹-1   ②2（2²⁰⁰⁹-1）③3•2^m-1-2^2m-2010-1   ④2^m+1-2^2m-2009-1．

A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①③④

Answer 1

分析：由于新定義了對稱數列，且已知數列b_n是項數為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，故數列{b_n}的前2009項和需分情況討論，然后利用等比數列的前n項和定義直接可求得，從而判斷①②的正確與否；對于③④，先從等比數列的求和公式求出任意2m項的和，在利用減法得到需要的前2009項的和，即可判斷．

解答：解：因為數列b_n是項數為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，
所以分數列的項數是偶數和奇數討論．
若數列含偶數項，則數列可設為1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
當m-1≥2008時，S2009=

1×(1-22009)

1-2

=22009-1，所以①正確；
當1004≤m-1＜2008時，S2009=2

1×(1-2m)

1-2

-

1×(1-22m-2009)

1-2

=2^m+1-2^2m-2009-1，所以④正確；
若數列含奇數項，則數列可設為可設為1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
當m-1≥2008時，S2009=22009-1；
當1004≤m-1＜2008時，所以S2009=2

1×(1-2m-1)

1-2

+2m-1-

1×(1-22m-1-2009)

1-2

=3•2^m-1-2^2m-2010-1，所以③正確．
故選D．

點評：此題考查了學生對于新題意，新定義的理解，還考查了等比數列的求和公式及學生的計算能力．