Question

【題目】設函數 .

（1）求的單調區間；

（2）設，且有兩個極值點，其中，求的最小值；

（3）證明： .

Answer 1

【答案】（1）當， 在定義域上單調遞增，無遞減區間；當時， 的遞增區間為， ，遞減區間為（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）求函數的定義域和導數，討論a的取值范圍，利用函數單調性和導數之間的關系進行求解即可．（2）求出函數g（x）的表達式，求出函數g（x）的導數，令，得，其兩根為，且，所以

所以設，求導研究單調性求最值. （3）因為，所以要證，令，則，由（1）知易證明成立.

試題解析：

（1）的定義域為.

①當時， 恒成立， 在定義域上單調遞增；

②當時，令得，

（Ⅰ）當時，即時， 恒成立，

所以在定義域上單調遞增；

（Ⅱ）當時，即時， 的兩根為或，

當時， 單調遞增，

當時， 單調遞減，

當時， 單調遞增，

綜上，當， 在定義域上單調遞增，無遞減區間；

當時， 的遞增區間為， ，

遞減區間為

（2）的定義域為，

令，得，其兩根為，且，所以

所以

.

設，

則，

因為，

當時，恒有，當時，恒有，

總之， 時，恒有，所以在上單調遞減，

所以，所以.

（3）因為，

所以要證，

令，

則，

由（1）知， 時， 在 單調遞增，所以，

所以.