Question

【題目】如圖，DP⊥x軸，點M在DP的延長線上，且|DM|=2|DP|．當點P在圓x2+y2=1上運動時．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點T（0，t）作圓x2+y2=1的切線交曲線C于A，B兩點，求△AOB面積S的最大值和相應的點T的坐標．

Answer 1

【答案】解：（I）設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x0 ， y0），
則x=x0 ， y=2y0 ， 所以x0=x，y0= ，①
因為P（x0 ， y0）在圓x2+y2=1上，所以x02+y02=1②，
將①代入②，得點M的軌跡方程C的方程為x2+ =1；
（Ⅱ）由題意知，|t|≥1，
（i）當t=1時，切線l的方程為y=1，點A、B的坐標分別為（﹣ ，1），（ ，1），
此時|AB|= ，當t=﹣1時，同理可得|AB|= ；
（ii）當|t|＞1時，設切線l的方程為y=kx+t，k∈R，
由 ，
得（4+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0③，
設A、B兩點的坐標分別為（x1 ， y1），（x2 ， y2），
由③得：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
又直線l與圓x2+y2=1相切，得 =1，即t2=k2+1，
∴|AB|= = = ，
又|AB|= = ≤2，且當t=± 時，|AB|=2，
綜上，|AB|的最大值為2，
依題意，圓心O到直線AB的距離為圓x2+y2=1的半徑，
∴△AOB面積S= |AB|×1≤1，
當且僅當t=± 時，△AOB面積S的最大值為1，相應的T的坐標為（0，﹣ ）或（0， ）．
【解析】（I）設出M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x0 ， y0），由題意DP⊥x軸，點M在DP的延長線上，且|DM|=2|DP|，找出x0與x的關系及y0與y的關系，記作①，根據P在圓上，將P的坐標代入圓的方程，記作②，將①代入②，即可得到點M的軌跡方程；（Ⅱ）由過點T（0，t）作圓x2+y2=1的切線l交曲線C于A，B兩點，得到|t|大于等于圓的半徑1，分兩種情況考慮：（i）當t=1時，確定出切線l為x=1，將x=1代入M得軌跡方程中，求出A和B的坐標，確定出此時|AB|的長，當t=﹣1時，同理得到|AB|的長；（ii）當|t|大于1時，設切線l方程為y=kx+t，將切線l的方程與圓方程聯立，消去y得到關于x的一元二次方程，設A和B的坐標，利用根與系數的關系表示出兩點橫坐標之和與之積，再由切線l與圓相切，得到圓心到切線的距離d=r，利用點到直線的距離公式列出關系式，整理后得到k與t的關系式，然后利用兩點間的距離公式表示出|AB|，將表示出的兩根之和與兩根之積，以及k與t的關系式代入，得到關于t的關系，利用基本不等式變形，得到|AB|的最大值，以及此時t的取值，而三角形AOB的面積等于AB與半徑r乘積的一半來求，表示出三角形AOB的面積，將|AB|的最大值代入求出三角形AOB面積的最大值，以及此時T的坐標即可．