Question

【題目】已知以點C（t， ）（t∈R且t≠0）為圓心的圓經過原點O，且與x軸交于點A，與y軸交于點B．
（1）求證：△AOB的面積為定值．
（2）設直線2x+y﹣4=0與圓C交于點M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．
（3）在（2）的條件下，設P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點，求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意可得：圓的方程為： =t2+ ，化為：x2﹣2tx+y2﹣ =0．

與坐標軸的交點分別為：A（2t，0），B ．∴S△OAB= =4，為定值．

（2）解：∵|OM|=|ON|，∴原點O在線段MN的垂直平分線上，設線段MN的中點為H，則C，H，O三點共線，

OC的斜率k= = ，∴ ×（﹣2）=﹣1，解得t=±2，可得圓心C（2，1），或（﹣2，﹣1）．

∴圓C的方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，或（x+2）2+（y+1）2=5．

（3）解：由（2）可知：圓心C（2，1），半徑r= ，點B（0，2）關于直線x+y+2=0的對稱點為B′（﹣4，﹣2），則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又點B′到圓上點Q的最短距離為|B′C|﹣r= ﹣ =2 ，

則|PB|+|PQ|的最小值為2 ．

直線B′C的方程為：y= x，此時點P為直線B′C與直線l的交點，

故所求的點P ．

【解析】（1）由題意可得：圓的方程為： =t2+ ，化為：x2﹣2tx+y2﹣ =0．求出與坐標軸的交點，即可對稱S△OAB．（2）由|OM|=|ON|，可得原點O在線段MN的垂直平分線上，設線段MN的中點為H，則C，H，O三點共線，

可得t，即可對稱圓C的方程．（3）由（2）可知：圓心C（2，1），半徑r= ，點B（0，2）關于直線x+y+2=0的對稱點為B′（﹣4，﹣2），則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又點B′到圓上點Q的最短距離為|B′C|﹣r= ﹣ =2 ，進而得出．