Question

設等比數列的首項為，公比為（為正整數），且滿足是與的等差中項；數列滿足（）.
（1）求數列的通項公式；
（2）試確定的值，使得數列為等差數列；
（3）當為等差數列時，對每個正整數，在與之間插入個2，得到一個新數列. 設是數列 的前項和，試求滿足的所有正整數.

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ） ;（Ⅲ） 

試題分析：（Ⅰ）由是與的等比中項可得，根據等比數列基本量可得到關于的方程,從而求出，由 得到數列的通項公式; （Ⅱ）由題中所給關于表達式化簡得用表示的表達式,即,這樣可聯想到去求出,利用等差中項可求出的值,并由此求出的表達式,最后根據求的表達式結合等差數列的定義去證明它是一個等差數列; （Ⅲ）由（Ⅰ）知數列的通項公式,由（Ⅱ）知數列的通項公式,結合題中要求分析得:, ,則可得出數列的大體如下:,可見數列的前三項均為，由此可驗證的具體情況，可得其中符合題中要求，當時，分析不可能為，因為前面的永大于，那么要存在肯定為,這樣就可得到關于一個假設的等式，并可化簡得關于的表達式,根據特點可設出對應的函數,最后由導數在函數中的運用去判斷出在上函數恒為正．
試題解析：解：（Ⅰ）因為,所以，
解得（舍），則      3分
又，所以           5分
（Ⅱ）由，得，
所以,
則由，得          8分
而當時，，由（常數）知此時數列為等差數列    10分
（Ⅲ）因為，易知不合題意，適合題意    11分
當時，若后添入的數2，則一定不適合題意，從而必是數列中的
某一項，則，
所以，即      13分
記，則，
因為，
所以當時，，又，
從而，故在[3，遞增.
則由知=0在[3，無解，
即都不合題意            15分
綜上知，滿足題意的正整數僅有m=2           16分