在某次模塊水平測試中，某同學對于政治、歷史、地理這三個學科每個學科是否能達到優秀水平的概率都為
，記政治、歷史、地理達到優秀水平的事件分別為
、
、
，未達到優秀水平的事件分別為
、
、
．
（Ⅰ）若將事件 “該同學這三科中恰有兩科達到優秀水平” 記為
，試求事件發生的概率；
（Ⅱ）請依據題干信息，仿照（Ⅰ）的敘述，設計一個關于該同學測試成績情況的事件
，使得事件發生的概率大于
，并說明理由．
（Ⅰ）
；（Ⅱ）詳見解析.
解析試題分析：（Ⅰ）先將總的基本事件與事件所包含的基本事件列出來，并明確事件所包含的基本事件個數和總的基本事件個數，最后再利用古典概型的概率計算公式即可計算處事件發生的概率；（Ⅱ）由于總的基本事件有8個，要使得所涉及的事件發生的概率超過
，則所設計的基本事件的個數不少于7個，故方案一和方案二都是在否定8個基本事件中某一個基本事件的基礎上進行的.
試題解析：（Ⅰ）依題意，總的基本事件有“
，
，
，
，
，
，
，
”，共
種， 2分
事件包含的基本事件有“，，”，共
種， 4分
由于每個基本事件發生的可能性都相等，故事件發生的概率
． 6分
（Ⅱ）方案一：記“該同學這三科中至少有一科達到優秀水平”的事件為，則事件發生的概率大于. 8分
理由：事件包含的基本事件有“，，，，，，”，共
種， 10分
由于每個基本事件發生的可能性都相等，所以
． 12分
方案二：記 “該同學參加這次水平測試成績不全達到優秀水平”的事件為，則事件發生的概率大于. 8分
理由：事件包含的基本事件有“，，，，，，”，共種， 10分
由于每個基本事件發生的可能性都相等，故． 12分
考點：事件的獨立性、古典概型
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
袋中有8個大小相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球.
（I）若從袋中一次摸出2個小球，求恰為異色球的概率；
（II）若從袋中一次摸出3個小球，且3個球中，黑球與白球的個數都沒有超過紅球的個數，記此時紅球的個數為
，求的分布列及數學期望E.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
小明參加完高考后，某日路過一家電子游戲室，注意到一臺電子游戲機的規則是：你可在1，2，3，4，5，6點中選一個，押上賭注a元。擲3枚骰子，如果所押的點數出現1次、2次、3次，那么原來的賭注仍還給你，并且你還分別可以收到賭注的1倍、2倍、3倍的獎勵。如果所押的點數不出現，那么賭注就被莊家沒收。
（1）求擲3枚骰子，至少出現1枚為1點的概率；
（2）如果小明準備嘗試一次，請你計算一下他獲利的期望值，并給小明一個正確的建議。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
德陽中學數學競賽培訓共開設有初等代數、初等幾何、初等數論和微積分初步共四門課程，要求初等代數、初等幾何都要合格，且初等數論和微積分初步至少有一門合格，則能取得參加數學競賽復賽的資格，現有甲、乙、丙三位同學報名參加數學競賽培訓，每一位同學對這四門課程考試是否合格相互獨立，其合格的概率均相同，（見下表），且每一門課程是否合格相互獨立，
| 課 程 | 初等代數 | 初等幾何 | 初等數論 | 微積分初步 |
| 合格的概率 |  |  | |  |
表示三位同學中取得參加數學競賽復賽的資格的人數，求的分布列及期望
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
一個袋子里裝有7個球, 其中有紅球4個, 編號分別為1，2，3，4； 白球3個, 編號分別為2，3，4. 從袋子中任取4個球 (假設取到任何一個球的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4個球中, 含有編號為3的球的概率；
(Ⅱ) 在取出的4個球中, 紅球編號的最大值設為X ，求隨機變量X的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
一個盒子中裝有4張卡片，每張卡片上寫有1個數字，數字分別是1、2、3、4，現從盒子中隨機抽取卡片.
(Ⅰ)若一次從中隨機抽取3張卡片，求3張卡片上數字之和大于或等于7的概率；
(Ⅱ)若第一次隨機抽取1張卡片，放回后再隨機抽取1張卡片，求兩次抽取的卡片中至少一次抽到數字2的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
一個口袋中裝有2個白球和
個紅球（
且
），每次從袋中摸出兩個球（每次摸球后把這兩個球放回袋中），若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎．
(Ⅰ) 摸球一次，若中獎概率為
，求的值；
(Ⅱ) 若
，摸球三次，記中獎的次數為
，試寫出的分布列并求其期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
節日期間,高速公路車輛較多.某調查公司在一服務區從七座以下小型汽車中按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查,將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段 
后得到如下圖的頻率分布直方圖.
(1)此調查公司在采樣中,用到的是什么抽樣方法?
(2)求這40輛小型車輛車速的眾數和中位數的估計值;
(3)若從車速在
的車輛中任抽取2輛,求抽出的2輛車中車速在
的車輛數
的分布列及數學期望.
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