Question

【題目】設A是雙曲線 的右頂點，F（c，0）是右焦點，若拋物線 的準線l上存在一點P，使∠APF=30°，則雙曲線的離心率的范圍是（ ）
A.[2，+∞）
B.（1，2]
C.（1，3]
D.[3，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：拋物線 的準線l為x= ，

雙曲線 的右頂點A（a，0），

F（c，0）是右焦點，

設l與x軸的交點為H，設P（ ，h），h＞0，

在直角三角形PHA中，可得tan∠APH= = ，

在直角三角形PHF中，可得tan∠FPH= = ，

即有tan∠APF=tan（∠FPH﹣∠APH）

= = ≤ ，

即為tan30°= ≤ ，

化簡可得3c2≥4ac+4a2，

由e= 可得3e2﹣4e﹣4≥0，

解得e≥2或e≤﹣ （舍去），

故選：A．