Question

【題目】如圖，島 、 相距 海里．上午9點整有一客輪在島 的北偏西 且距島 海里的 處，沿直線方向勻速開往島 ，在島 停留 分鐘后前往 市．上午 測得客輪位于島 的北偏西 且距島 海里的 處，此時小張從島 乘坐速度為 海里/小時的小艇沿直線方向前往 島換乘客輪去 市．

（Ⅰ）若 ，問小張能否乘上這班客輪？
（Ⅱ）現測得 ， ．已知速度為 海里/小時( )的小艇每小時的總費用為( )元，若小張由島 直接乘小艇去 市，則至少需要多少費用？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據題意得：
， ， ， ．
在 中，由余弦定理得，
,
所以客輪的航行速度 （海里/小時）．
因為 ，所以 ，
所以 ．
在 中，由余弦定理得， ，
整理得： ，
解得 或 （不合舍去）．
所以客輪從 處到島 所用的時間 小時，
小張到島 所用的時間至少為 小時．
由于 ，
所以若小張9點半出發，則無法乘上這班客輪.
（Ⅱ）在 中， ， ,
所以 為銳角， ， ．
所以
.
由正弦定理得， ,
所以 ,
所以小張由島 直接乘小艇去城市 的總費用為
( )，
當且僅當 ，即 時， （元）.
所以若小張由島 直接乘小艇去 市，其費用至少需 元
【解析】（Ⅰ）根據題目中所給的條件的特點，在△CDE中，由余弦定理得DE．在△ACE中，由余弦定理得AE，最后求出客輪從E處到島A所用的時間，小張到島A所用的時間．即可推出正確的答案．
（Ⅱ）求出BC，利用基本不等式求出最值即可．考查正弦定理、余弦定理及三角恒等變換等基礎知識.