Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求證：PC⊥BC；
（2）求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC．

由∠BCD=90°，得CD⊥BC，

又PD∩DC=D，PD、DC平面PCD，

所以BC⊥平面PCD．

因為PC平面PCD，故PC⊥BC．

（2）解：（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：

易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等．

又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍．

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因為PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．

易知DF= ，故點A到平面PBC的距離等于 ．

（方法二）等體積法：連接AC．設點A到平面PBC的距離為h．

因為AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．

從而AB=2，BC=1，得△ABC的面積S△ABC=1．

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P﹣ABC的體積 ．

因為PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC．

又PD=DC=1，所以 ．

由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面積 ．

由VA﹣PBC=VP﹣ABC， ，得 ，

故點A到平面PBC的距離等于 ．

【解析】（1），要證明PC⊥BC，可以轉化為證明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易證明BC⊥平面PCD，從而得證；（2），有兩種方法可以求點A到平面PBC的距離： 方法一，注意到第一問證明的結論，取AB的中點E，容易證明DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等，而A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍，由第一問證明的結論知平面PBC⊥平面PCD，交線是PC，所以只求D到PC的距離即可，在等腰直角三角形PDC中易求；
方法二，等體積法：連接AC，則三棱錐P﹣ACB與三棱錐A﹣PBC體積相等，而三棱錐P﹣ACB體積易求，三棱錐A﹣PBC的地面PBC的面積易求，其高即為點A到平面PBC的距離，設為h，則利用體積相等即求．