Question

【題目】下列五個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點M，N，P分別為其所在棱的中點，求能得出⊥面MNP的圖形的序號(寫出所有符合要求的圖形序號)

Answer 1

【答案】①④⑤

【解析】為了得到本題答案，必須對5個圖形逐一進行判別．對于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進行判斷．在MN、NP、MP三條線中，若有一條不垂直l，則可斷定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．

解法1 作正方體ABCD－A1B1C1D1如附圖，與題設圖形對比討論．在附圖中，三個截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是對角線l (即 AC1)的垂面．

對比圖①，由MN∥BA l，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．

對比圖②，由MN與面CB1D1相交，而過交點且與l垂直的直線都應在面CBlDl內，所以MN不垂直于l，從而l不垂直于面MNP．

對比圖③，由MP與面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．

對比圖④，由MN∥BD，MP∥BA．知面 MNP∥面BA1 D，故l⊥面MNP．

對比圖⑤，面MNP與面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．

綜合得本題的答案為①④⑤．

解法2 如果記正方體對角線l所在的對角截面為．各圖可討論如下：

在圖①中，MN,NP在平面上的射影為同一直線，且與l垂直，故 l⊥面MNP．事實上，還可這樣考慮：l在上底面的射影是MP的垂線，故l⊥MP；l在左側面的射影是MN的垂線，故l⊥MN，從而l⊥面 MNP．

在圖②中，由MP⊥面，可證明MN在平面上的射影不是l的垂線，故l不垂直于MN．從而l不垂直于面MNP．

在圖③中，點M在上的射影是l的中點，點P在上的射影是上底面的內點，知MP在上的射影不是l的垂線，得l不垂直于面 MNP．

在圖④中，平面垂直平分線段MN，故l⊥MN．又l在左側面的射影(即側面正方形的一條對角線)與MP垂直，從而l⊥MP，故l⊥面 MNP．

在圖⑤中，點N在平面上的射影是對角線l的中點，點M、P在平面上的射影分別是上、下底面對角線的4分點，三個射影同在一條直線上，且l與這一直線垂直．從而l⊥面MNP．

至此，得①④⑤為本題答案．