Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分圖象如圖所示．

（1）求f（x）＞ 在x∈[0，π]上的解集；
（2）設g（x）=2 cos2x+f（x），g（α）= + ，α∈（ ， ），求sin2α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分圖象知A=1，

且 = = + ，

∴ω=2．

再根據五點法作圖可得2 +φ= ，求得φ=﹣ ，

∴f（x）=sin（2x﹣ ）．

∵f（x）=sin（2x﹣ ）＞ ，∴ +2kπ＜2x﹣ ＜2kπ+ ，求得 kπ+ ＜x＜kπ+ ，k∈Z．

再根據x∈[0，π]，可得 ＜x＜ ，故原不等式的解集為（ ， ）

（2）解：設g（x）π=2 cos2x+f（x），g（α）=2 cos2α+sin（2α﹣ ）= + cos2α+ sin2α﹣ cos2α

= sin2α+ cos2α+ = +sin（2α+ ）= + ，

∴sin（2α+ ）= ．

∵α∈（ ， ），∴2α+ ∈（ ， ），∴cos（2α+ ）=﹣ =﹣ ，

∴sin2α=sin[（2α+ ）﹣ ]=sin（2α+ ）cos ﹣cos （2α+ ）sin = ﹣（﹣ ）=

【解析】（1）利用函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數的解析式．（2）利用三角恒等變換求得 sin（2α+ ）的值，可得cos（2α+ ）的值，再利用兩角和差的正弦公式求得 sin2α=sin[（2α+ ）﹣ ]的值．