Question

【題目】已知．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）若函數在上有最小值，且最小值為，滿足，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(I) 函數在單調遞減，在單調遞增；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，通過討論的范圍，分別令得增區間， 得減區間；（2）結合（1）可得的范圍，得到函數的單調區間，求出函數在上有最小值，從而確定的范圍即可.

試題解析：（Ⅰ）∵f'（x）＝ex－2a．

當a≤0時，f'（x）＞0，f（x）在R上單調遞增；

當a＞0時，令f'（x）＝0，得x＝ln2a．

列表得

x	（－∞，ln2a）	ln2a	（1n2a，＋∞）
f'（x）	－	0	＋
f（x）

所以函數f（x）在（－∞，ln2a）單調遞減，在（ln2a，＋∞）單調遞增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當a＞0時，f（x）有最小值，且在x＝ln2a時取到最小值，

∴ln2a＞0，∴．

∵f（x）min＝f（ln2a）＝2a－2aln2a＋1，

∴g（a）＝2a－2aln2a＋1≤3－2ln2，即2a－2aln2a－2＋2ln2≤0．

令t＝2a，t＞1，∴t－tlnt－2＋2ln2≤0．

記φ（t）＝t－tlnt－2＋2ln2，φ'（t）＝－lnt＜0．

∴φ（t）在（1，＋∞）上單調遞減，又∵φ（2）＝0，∴φ（t）≤0時t≥2，即a≥1．

所以a的取值范圍是a≥1．

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的最值、，屬于難題．利用導數研究函數的單調性進一步求函數最值的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區間；令，解不等式得的范圍就是遞減區間；④根據單調性求函數的極值及最值（閉區間上還要注意比較端點處函數值的大小）.