Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足Sn=2﹣an ， n=1，2，3，…．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{bn}滿足b1=1，且bn+1=bn+an ， 求數列{bn}的通項公式；
（3）設cn=n（3﹣bn），求數列{cn}的前n項和為Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為n=1時，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．

因為Sn=2﹣an，即an+Sn=2，所以an+1+Sn+1=2．

兩式相減：an+1﹣an+Sn+1﹣Sn=0，即an+1﹣an+an+1=0，故有2an+1=an．

因為an≠0，所以 = （ n∈N*）．

所以數列{an}是首項a1=1，公比為 的等比數列，an= （ n∈N*）

（2）解：因為bn+1=bn+an（ n=1，2，3，…），所以bn+1﹣bn= ．從而有b2﹣b1=1，b3﹣b2= ，b4﹣b3= ，…，bn﹣bn﹣1= （ n=2，3，…）．

將這n﹣1個等式相加，得bn﹣b1=1+ + +…+ = =2﹣ ．

又因為b1=1，所以bn=3﹣ （ n=1，2，3，…）

（3）解：因為cn=n （3﹣bn）= ，

所以Tn= ． ①

= ． ②

①﹣②，得 = span> ﹣ ．

故Tn= ﹣ =8﹣ ﹣ =8﹣ （ n=1，2，3，…）

【解析】（1）利用數列中an與 Sn關系 解決．（2）結合（1）所求得出bn+1﹣bn= ．利用累加法求bn（3）由上求出cn=n （3﹣bn）= ，利用錯位相消法求和即可．