Question

【題目】已知函數，.

（l）求的單調區間；

（2）若函數在區間內存在唯一的極值點，求的值.

Answer 1

【答案】(1)單調遞增區間為，單調遞減區間為.(2)或.

【解析】試題分析：（1）先求得函數定義域為，再利用函數的導數來求函數的單調區間。（2）即在區間上存在唯一零點，且為奇次零點。所以對函數g(x)求導 .由（1）可知函數在上單調遞增，在上單調遞減.而，所以g(x)最多兩個零點，分別位于（0,1）和，所以現在只需在（0,1）和中各找一個，，使得，可找<0,，所以一定有兩個零點，因為要找的區間長度為1，所以再找，可求得或.

試題解析：（1）由已知得，.

當時，由，得，

由，得.

所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）因為 ，

則 .

由（1）可知，函數在上單調遞增，在上單調遞減.

又因為，.

所以在上有且只有一個零點.

又在上，在上單調遞減；

在上，在上單調遞增.

所以為極值點，此時.

又，，

所以在上有且只有一個零點.

又在上，在上單調遞增；

在上，在上單調遞減.

所以為極值點，此時.

綜上所述，或.