Question

【題目】根據國家環保部新修訂的《環境空氣質量標準》規定：居民區PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米．我市環保局隨機抽取了一居民區2016年20天PM2.5的24小時平均濃度（單位：微克/立方米）的監測數據，數據統計如表

組別	PM2.5濃度 （微克/立方米）	頻數（天）	頻率
第一組	（0，25]	3	0.15
第二組	（25，50]	12	0.6
第三組	（50，75]	3	0.15
第四組	（75，100]	2	0.1

（1）從樣本中PM2.5的24小時平均濃度超過50微克/立方米的天數中，隨機抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度超過75微克/立方米的概率；
（2）將這20天的測量結果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖． ①求圖中a的值；
②求樣本平均數，并根據樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區的環境質量是否需要改善？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設PM2.5的24小時平均濃度在（50，75]內的三天記為A1，A2，A3，

PM2.5的24小時平均濃度在（75，100）內的兩天記為B1，B2．

所以5天任取2天的情況有：

A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10種．

其中符合條件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6種

所以所求的概率P= =

（2）解：①由第四組的頻率為：0.1得：25a=0.1，

解得：a=0.004

②去年該居民區PM2.5年平均濃度為：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）．

因為42.5＞35，

所以去年該居民區PM2.5年平均濃度不符合環境空氣質量標準，故該居民區的環境需要改進

【解析】（1）設PM2.5的24小時平均濃度在（50，75]內的三天記為A1 ， A2 ， A3 ， PM2.5的24小時平均濃度在（75，100）內的兩天記為B1 ， B2 ， 求出基本事件總數，符合條件的基本事件總數，即可求得概率；（2）①由第四組的頻率為：0.1得：25a=0.1，解得a值；②利用組中值×頻數，可得去年該居民區PM2.5年平均濃度，進而可判斷該居民區的環境是否需要改進．
【考點精析】利用頻率分布直方圖對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．