Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx
（1）求f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數 在[1，e]上的最小值為 ，求a的值；
（3）若k∈Z，且f（x）+x﹣k（x﹣1）＞0對任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=xlnx∴f′（x）=lnx+1

∴f′（1）=1，f（1）=0

則切線方程為y﹣0=1（x﹣1），即y=x﹣1

（2）解：F（x）=lnx﹣ ，F′（x）= ，

①當a≥0時，F′（x）＞0，F（x）在[1，e]上單調遞增，F（x）在[1，e]上的最小值為F（1）=﹣a= ，解得a=﹣ （0，+∞），故舍去．

②當a∈（﹣1，0）時，F（x）在[1，e]上單調遞增，F（x）在[1，e]上的最小值為F（1）=﹣a= ，解得a=﹣ （﹣1，0），故舍去

③當a∈[﹣e，﹣1]時，F（x）在[1，﹣a]上單調遞減，F（x）在[﹣a，e]上遞增，F（x）在[1，e]上的最小值為F（﹣a）=ln（﹣a）+1=

解得a=﹣ ∈[﹣e，﹣1]，故符合題意．

④當a∈（﹣∞，﹣e）時，F（x）在[1，e]上單調遞減，F（x）在[1，e]上的最小值為F（e）=1﹣ = ，解得a=﹣ （﹣∞，﹣e），故舍去

綜上：a=﹣

（3）解：令g（x）=f（x）+x﹣k（x﹣1）=xlnx+x﹣k（x﹣1）（x＞1）g'（x）=lnx+2﹣k（x＞1）

①當k≤2時，g'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，g（x）在（1，+∞）上恒成立，g（x）min=g（1）=1＞0

②當k＞2時，令g'（x）=0得x=ek﹣2

當x變化時，g'（x）、g（x）變化情況如下表：

x	（1，ek﹣2）	ek﹣2	（ek﹣2，+∞）
g′（x）	﹣	0	+
g（x）	減函數	極小值	增函數

∴ 即ek﹣2（k﹣2）+ek﹣2﹣k（ek﹣2﹣1）＞0

即k＞ek﹣2，∴lnk＞k﹣2，∴lnk﹣k+2＞0，

令h（k）=lnk﹣k+2，（k＞0）．

h′（k）= ，當k∈（0，1）時，h（k）遞增，k∈（1，+∞）遞減，

且h（1）=1＞0，h（2）=ln2＞0，h（3）=ln3﹣1＞0，h（4）=ln4﹣2＜，0∴3＜k＜4

∴整數k的最大值是3

【解析】（1）由f′（x）=lnx+1，得f′（1）=1，由f（1）=0得切點，即可得切線方程．（2）F（x）=lnx﹣ ，F′（x）= ，分①當a≥0，②當a∈（﹣1，0），③當a∈[﹣e，﹣1]，④當a∈（﹣∞，﹣e） 求出F（x）的最小值，由最小值為 ，求解a．（3）令g（x）=f（x）+x﹣k（x﹣1）=xlnx+x﹣k（x﹣1）（x＞1），分 ①當k≤2，②當k＞2時，求出g（x）的最小值，最小值大于0即可求解k的最大值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．