Question

【題目】在平面直角坐標系中，為拋物線上不同的兩點，且，點且于點.

（1）求的值；

（2）過軸上一點 的直線交于，兩點，在的準線上的射影分別為，為的焦點，若，求中點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由點且于點，可求得直線AB的方程，聯立直線方程與拋物線方程由韋達定理可表示，進而表示，再由，得構建方程，解得p值；

（2）分別表示與，由已知構建方程，解得t的值，設的中點的坐標為，當與軸不垂直時，由構建等式，整理得中點軌跡方程；當與軸垂直時，與重合，綜上可得答案.

（1）由及，得直線的斜率，

則的方程為，即，

設，，

聯立消去得，，

由韋達定理，得，于是，

由，得，即，則，

解得.

（2）由（1）得拋物線的焦點，設的準線與軸的交點為，

則，，

由，得，且，得.

設的中點的坐標為，

則當與軸不垂直時，由，

可得，

；

當與軸垂直時，與重合，

所以的中點的軌跡方程為.