Question

【題目】已知數列{an}滿足2an+1=an+an+2+k（n∈N* ， k∈R），且a1=2，a3+a5=﹣4．
（1）若k=0，求數列{an}的前n項和Sn；
（2）若a4=﹣1，求數列{an}的通項公式an ．

Answer 1

【答案】
（1）解：若k=0，則數列{an}滿足2an+1=an+an+2（n∈N*，k∈R），

∴數列{an}是等差數列，設公差為d，

∵a1=2，a3+a5=﹣4．

∴2×2+6d=﹣4，解得d= ．由

∴Sn=2n × = ．

（2）2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），a3+a5=﹣4，a4=﹣1，

則2a4=a3+a5+k，

﹣2=﹣4+k，

解得k=2．

數列{an}滿足2an+1=an+an+2+2，

當n≥2時，2an=an﹣1+an+1+2，

相減可得：2（an+1﹣an）=（an﹣an﹣1）+（an+2﹣an+1），

令bn=an+1﹣an，

則2bn=bn﹣1+bn+1．

∴數列{bn}是等差數列，公差=b4﹣b3=（a5﹣a4）﹣（a4﹣a3）=﹣2．

首項為b1=a2﹣a1，b2=a3﹣a2，b3=a4﹣a3，

由2b2=b1+b3，可得2（a3﹣a2）=a2﹣2﹣1﹣a3，

解得3（a3﹣a2）=﹣3，b2=a3﹣a2=﹣1．

∴bn=b2+（n﹣2）（﹣2）=﹣2n+3．

∴an+1﹣an=﹣2n+3．

∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1

=[﹣2（n﹣1）+3]+[﹣2（n﹣2）+3]+…+（﹣2+3）+2

= +2

【解析】1、由遞推公式可得，數列{an}是等差數列，由的差數列前n項和公式求得。
2、由題意可得數列{bn}是等差數列，由題中給出的遞推公式可以求出bn=b2+（n﹣2）（﹣2）=﹣2n+3即an+1﹣an=﹣2n+3，所以an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1an= .
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．