Question

【題目】如圖，在圓內(nèi)畫1條線段，將圓分割成兩部分；畫2條相交線段，彼此分割成4條線段，將圓分割成4部分；畫3條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫4條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分.那么

（1）在圓內(nèi)畫5條線段，它們彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？

（2）猜想：圓內(nèi)兩兩相交的n條線段，彼此最多分割成多少條線段？

（3）猜想：在圓內(nèi)畫n條線段，兩兩相交，將圓最多分割成多少部分？

并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所得到的猜想.

Answer 1

【答案】 (1)25,16(2) n2(3)見解析

【解析】

根據(jù)1條、2條、3條、4條的特殊情況，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可得到結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

(1) 畫2條相交線段，彼此分割成4條線段，將圓分割成4部分；畫3條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫4條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分,所以畫5條線段，彼此最多分割成25條線段，將圓最多分割成16部分.

(2) 圓內(nèi)兩兩相交的n條線段,彼此最多分割成n2條線段；

(3) 1條線段把圓分成f(1)=2部分，2條線段把圓分成f(2)=2+2部分，3條線段把圓分成f(3)=2+2+3部分，4條線段把圓分成f(4)=2+2+3+4部分，可猜想n條線段把圓分成f(n)=2+（2+3+4+5+6+7+8+…n）＝1+（1+2+3+4+5+6+7+8+…n）＝部分，證明如下，

證明：①當(dāng)n＝1時 上式顯然成立

②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥2）時成立，即f(k)=成立

則當(dāng)n＝k+1時，第k+1條直線與前k條直線相交有k個交點，

所以k個交點將第k+1條線段分成k+1份，每一份將原來的部分又分成2份，

所以在原來的基礎(chǔ)上增加了k+1部分，

所以f（k+1）＝f（k）+k+1＝+k+1＝

所以當(dāng)n＝k+1時成立,綜合①②，所以猜想成立.