Question

【題目】已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＞0，an2+2an=4Sn﹣1．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn= ，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．
（3）cn= ，{cn}的前n項(xiàng)和為Dn ， 求證：Dn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)， ，解之得a1=1；

當(dāng)n≥2時(shí) ， ，

， ，因?yàn)閍n＞0，

所以 ，

所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以an=2n﹣1

（2）解：∵

∴

（3）證明： =

Dn=c1+c2+c3+…+cn= = ，即

【解析】（1）由an2+2an=4Sn﹣1，可求得a1 ， 當(dāng)n≥2時(shí)，下推一項(xiàng)后兩式作差，整理可得以 ，利用等差數(shù)列的定義可判斷數(shù)列{an}為等差數(shù)列，繼而可得其通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)法可得 ，累加可求{bn}的前n項(xiàng)和Tn ． （3）利用放縮法得 = ，從而可求{cn}的前n項(xiàng)和為Dn ， 即證：Dn＜ ．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．