Question

設f （x）是奇函數，對任意的實數x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時，f （x）＜0，則f （x）在區間[a，b]上（　�。�

• A．有最大值f（a）
• B．有最小值f（a）
• C．有最大值f(

  a+b

  2

  )
• D．有最小值f(

  a+b

  2

  )

Answer 1

分析：利用函數單調性的定義，先設x₁＜x₂得x₂-x₁＞0，結合題意得f（x₂-x₁）＜0，再結合（x+y）=f（x）+f（y）得
f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＜0，最后利用函數為奇函數得到f（x₂）-f（x₁）＜0，得到函數為R上的減函數．由此不難得到正確選項．

解答：解：任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，
∵當x＞0時，f （x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0
即f（x₂）+f（-x₁）＜0；
∵f （x）是奇函數，
∴有f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在R上遞減．
∴f（x）在區間[a，b]上有最大值f（a），最小值f（b）
故選A

點評：本題以一個抽象函數為例，考查了函數單調性的判斷與證明、函數奇偶性等知識點，屬于中檔題．