Question

設f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b為實常數）．
（1）當a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數；
（2）設f（x）是奇函數，求a與b的值；
（3）求（2）中函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）證明不是奇函數，可用特殊值法；如證明：f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數；
（2）利用奇函數定義f（-x）=-f（x），再用待定系數法求解；
（3）先將原函數式化成：f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，將2^x看成整體，利用其范圍結合不等式的性質即可求得函數f（x）的值域．

解答：解：（1）f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，
f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數；（4分）
（2）f（x）是奇函數時，f（-x）=-f（x），
即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

對任意實數x成立，
化簡整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，這是關于x的恒等式，
所以

2a-b=0 2ab-4=0

所以

a=-1 b=-2

或

a=1 b=2

；（8分）
（3）f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，因為2^x＞0，所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，
從而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；所以函數f（x）的值域為(-

1

2

，

1

2

)．（13分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想．屬于基礎題．