Question

已知函數f(x)＝ln(x＋1)－x²－x.
(1)若關于x的方程f(x)＝－x＋b在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍；
(2)證明：對任意的正整數n，不等式2＋＋＋…＋ >ln(n＋1)都成立．

Answer 1

(1) ln 3－1≤b<ln 2＋. (2)見解析

(1)f(x)＝ln(x＋1)－x²－x，由f(x)＝－x＋b，得ln(x＋1)－x²＋x－b＝0，
令φ(x)＝ln(x＋1)－x²＋x－b，則f(x)＝－x＋b在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根等價于φ(x)＝0在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，φ′(x)＝－2x＋＝ ，
當x∈[0，1)時，φ′(x)>0，于是φ(x)在[0，1)上單調遞增；
當x∈(1，2]時，φ′(x)<0，于是φ(x)在(1，2]上單調遞減．
依題意有 
解得ln 3－1≤b<ln 2＋.
(2)證明：方法一，f(x)＝ln(x＋1)－x²－x的定義域為{x|x>－1}，則有f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－(舍去)，
當－1<x<0時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；
當x>0時，f′(x)<0，f(x)單調遞減．
∴f(0)為f(x)在(－1，＋∞)上的最大值．
∴f(x)≤f(0)，故ln(x＋1)－x²－x≤0(當且僅當x＝0時，等號成立)．
對任意正整數n，取x＝>0得，ln<＋，
∴ln<.
故2＋＋…＋≥ln 2＋ln＋…＋ln ＝ln(n＋1)．
方法二，數學歸納法證明：
當n＝1時，左邊＝＝2，右邊＝ln(1＋1)＝ln 2，顯然2>ln 2，不等式成立．
假設當n＝k(k∈N^*，k≥1)時，2＋>ln(k＋1)成立，
則當n＝k＋1時，有2＋＋ln(k＋1)．
做差比較：ln(k＋2)－ln(k＋1)－＝ln －＝ln－.
構建函數F(x)＝ln(1＋x)－x－x²，x∈(0，1)，
則F′(x)＝<0，
∴F(x)在(0，1)上單調遞減，∴F(x)<F(0)＝0.
取x＝(k≥1，k∈N^*)，ln－<F(0)＝0.
即ln(k＋2)－ln(k＋1)－<0，
亦即＋ln(k＋1)>ln(k＋2)，
故n＝k＋1時，有2＋＋ln(k＋1)>ln(k＋2)，不等式也成立．
綜上可知，對任意的正整數，不等式都成立．