Question

【題目】已知函數(shù)，且.

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，當時，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1） 函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)等價于在區(qū)間上恒成立，即在上恒成立,由二次函數(shù)知識可求的范圍；

（2）令，當時，恒成立等價于在區(qū)間上恒成立，求函數(shù)的導數(shù)，分類討論研究函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性求之即可.

試題解析：（1）∵函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則，

即在上恒成立，當時，令，得或，①若，則，解得；

②若，則，解得.

綜上，實數(shù)的取值范圍是.

（2）令，則，根據(jù)題意，當時，恒成立，所以.

①當時，時，恒成立，所以在上是增函數(shù)，且，所以不符題意.

②當時，時，恒成立，所以在上是增函數(shù)，且所以不符題意.

③當時，時，恒有，故在上是減函數(shù)，于是“對任意都成立”的充要條件是，即，解得，故，綜上，的取值范圍是.