Question

【題目】對于項(xiàng)數(shù)為（）的有窮正整數(shù)數(shù)列,記（），即為中的最大值，稱數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”.比如的“創(chuàng)新數(shù)列”為.

（1）若數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”為1,2,3,4,4，寫出所有可能的數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”，滿足（），求證： （）；

（3）設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”，數(shù)列中的項(xiàng)互不相等且所有項(xiàng)的和等于所有項(xiàng)的積，求出所有的數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）創(chuàng)新數(shù)列為1,2,3,4,4的所有數(shù)列，可知其首項(xiàng)是1，第二項(xiàng)是2，第三項(xiàng)是3，第四項(xiàng)是4，第五項(xiàng)是1或2或3或4，可寫出；（2）由題意易得， ，從而可得，整理即證得結(jié)論；（3）驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，根據(jù)而得，同理， ，而當(dāng)時(shí)不滿足題意.

試題解析：（1）所有可能的數(shù)列為； ； ；

（2）由題意知數(shù)列中. 又，所以 ，所以，即（）

（3）當(dāng)時(shí)，由得，又所以，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由題意知數(shù)列中，又

當(dāng)時(shí)此時(shí)， 而，所以等式成立；

當(dāng)時(shí)此時(shí)， 而，所以等式成立；

當(dāng)， 得，此時(shí)數(shù)列為.

當(dāng)時(shí)， ，而，所以不存在滿足題意的數(shù)列.綜上數(shù)列依次為.