Question

【題目】記，其中為函數的導數若對于，，則稱函數為D上的凸函數．

求證：函數是定義域上的凸函數；

已知函數，為上的凸函數．

求實數a的取值范圍；

求函數，的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；見解析

【解析】

求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出導函數的單調區間，從而判斷函數的凹凸性即可；

求出函數的導數，問題轉化為在上恒成立，求出a的范圍即可；令，，則，通過討論a的范圍，求出的最小值即可．

由，，

得，，

令，，則，

當時，，當時，，

故在遞減，在遞增，

故，

故對于，，

函數是定義域上的凸函數；

由，，

得，，

函數是上的凸函數，

故在上恒成立，

故在上恒成立，

故，故，

故實數a的范圍是，

令，，

則，

，，，

當時，在上恒成立，

故F，

故H，當且僅當時取等號，

；

當時，在恒成立，

故F在遞增，

故F，

故H；

當時，令，

存在零點，，

其中，，

，，

故，

結合的性質有：時，，故F，

時，，故F，

故F在上遞減，在遞增，

故F，

由知，，

故，從而，

故F，

又的圖象是一條不間斷的曲線，

故F在上有零點，

故H的最小值是0，

綜上，當時，的最小值是，

當時，的最小值是0，

當時，的最小值是．