Question

【題目】如圖，在三棱錐V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC= ，O，M分別為AB，VA的中點．

（1）求證：VB∥平面MOC；
（2）求證：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱錐V﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵O，M分別為AB，VA的中點，

∴OM∥VB，

∵VB平面MOC，OM平面MOC，

∴VB∥平面MOC；

（2）證明：∵AC=BC，O為AB的中點，

∴OC⊥AB，

∵平面VAB⊥平面ABC，OC平面ABC，

∴OC⊥平面VAB，

∵OC平面MOC，

∴平面MOC⊥平面VAB

（3）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC= ，∴AB=2，OC=1，

∴S△VAB= ，

∵OC⊥平面VAB，

∴VC﹣VAB= S△VAB= ，

∴VV﹣ABC=VC﹣VAB= ．

【解析】（1）利用三角形的中位線得出OM∥VB，利用線面平行的判定定理證明VB∥平面MOC；（2）證明：OC⊥平面VAB，即可證明平面MOC⊥平面VAB（3）利用等體積法求三棱錐V﹣ABC的體積．