Question

【題目】已知數列{an}是等比數列，a1=2，a3=18．數列{bn}是等差數列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）設Pn=b1+b4+b7+…+b3n﹣2 ， Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8 ， 其中n=1，2，3，…．試比較Pn與Qn的大小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：設{an}的公比為q，由a3=a1q2得q2= =9，q=±3．

①當q=﹣3時，a1+a2+a3=2﹣6+18=14＜20，

這與a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去．

②當q=3時，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合題意．

∴an=a1qn﹣1=2×3n﹣1

設數列{bn}的公差為d，由b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3=26，

得4b1+ d=26，結合b1=2，解之得d=3，

所以bn=bn+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1

綜上所述，數列{an}，{bn}的通項公式分別為an=2×3n﹣1、bn=3n﹣1；

（2）解：∵b1，b4，b7，…，b3n﹣2組成以3d為公差的等差數列，

∴Pn=nb1+ 3d= n2﹣ n；

同理可得：b10，b12，b14，…，b2n+8組成以2d為公差的等差數列，且b10=29，

∴Qn=nb10+ 2d=3n2+26n．

因此，Pn﹣Qn=（ n2﹣ n）﹣（3n2+26n）= n（n﹣19）．

所以對于正整數n，當n≥20時，Pn＞Qn；當n=19時，Pn=Qn；當n≤18時，Pn＜Qn．

【解析】（1）由等比數列通項公式，結合題意算出數列{an}的公比q=±3．討論可得當q=﹣3時與題意矛盾，故q=3可得an=2×3n﹣1 ． 由此得到{bn}的前4項和等于a1+a2+a3=26，利用等差數列的通項公式算出公差d=3，得bn=3n﹣1；（2）根據等差數列的性質，可得b1 ， b4 ， b7 ， …，b3n﹣2和b10 ， b12 ， b14 ， …，b2n+8分別組成以3d、2d為公差的等差數列，由等差數列求和公式算出Pn= n2﹣ n、Qn=3n2+26n．作差后，因式分解得Pn﹣Qn= n（n﹣19），結合n為正整數加以討論，即可得到Pn與Qn的大小關系，從而使本題得到解決．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．