Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為的正方形（記為）

（Ⅰ）求橢圓的方程

（Ⅱ）設點是直線與軸的交點，過點的直線與橢圓相交于兩點，當線段的中點落在正方形內（包括邊界）時，求直線斜率的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 橢圓的方程為；（Ⅱ）直線斜率的取值范圍為．

【解析】

試題分析：（I）求橢圓的方程，設出橢圓的方程，根據正方形的面積為，求出橢圓中參數的值且判斷出參數的關系，根據橢圓的三個參數的關系求出的值，從而得到橢圓的方程．（II）設出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯立，利用二次方程的韋達定理，可得到弦中點的坐標，當線段的中點落在正方形內部（包括邊界），得到中點的坐標滿足的不等關系，即，從而可求的的范圍．

試題解析：（Ⅰ）依題意，設橢圓C的方程為=1(a>b>0),焦距為2c，

由題設條件知，a²=8,b=c, 所以b²=a²=4

故橢圓C的方程為=1             (4分) 

（Ⅱ）橢圓C的左準線方程為x=-4,所以點P的坐標為（-4,0），

顯然直線l的斜率k存在，所以直線的方程為y=k(x+4)。

如圖，設點M，N的坐標分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),線段MN的

中點為G(x₀,y₀)，  由，

得(1+2k²)x²+16k²x+32k²-8=0       ①   （6分）

由D=(16k²)²-4(1+2k²)(32k²-8)>0

解得<k<       ②        （7分）

因為x₁,x₂是方程①的兩根，所以x₁+x₂=，

于是x₀==,y₀=k(x₀+4)=    （8分）

∵x₀=≤0，所以點G不可能在y軸的右邊.      （9分）

又直線F₁B₂,F₁B₁方程分別為y=x+2,y=-x-2

所以點G在正方形Q內（包括邊界）的充要條件為

即                  （10分）

解得≤k≤，此時②也成立．     （12分）

故直線l斜率的取值范圍是[,].    (13分)

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．